Bilangan Bulat

A.      Pengertian Bilangan Bulat

               Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatifnya. Sedangkan bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka 0 ,1, 2, 3, 4, ... (Maksud dari  titik-titik adalah dan seterusnya sampai tak terhingga). Negatif dari bilangan cacah adalah -1, -2, -3, -4 .... mengapa -0 tidak dituliskan? Karena -0 = 0 jadi tidak dituliskan sebagai negatif bilangan cacah. Jadi dapat disimpulkan bahwa komponen dari bilangan bulat adalah ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... . Bilangan bulat disebut sebagai bilangan bulat karena ia tidak memiliki anggota pecahan dan desimal. Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf “Z” yang berasal dari bahasa jerman Zahlen yang artinya bilangan.

B.       Anggota Bilangan Bulat

       Bilangan bulat terdiri dari tiga jenis anggota. Anggotanya antara lain :

·           Bilangan Bulat Positif

       Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat yang letaknya berada di sebelah kanan 0 (nol) pada garis bilangan bulat. Jadi 1, 2, 3, 4, .... merupakan bilangan bulat positif.

·           Bilangan Bulat Negatif

       Bilangan bulat negatif adalah bilangan yang letaknya berada di sebelah kiri 0(nol) pada garis bilangan. Jadi -1, -2, -3, -4, ... merupakan bilangan bulat negatif.

·           0 (Nol)

       Nol tidak termasuk anggota bilangan bulat positif dan negatif. Dia berdiri sendiri. Sehingga anggota bilangan bulat adalah bilangan bulat postif, nol, dan bilangan bulat negatif.

C.      Operasi Hitung Bilangan Bulat

1.         Penjumlahan bilangan bulat

       Cara penjumlahan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

·           Jika kedua bilangan tandanya sama, maka :

a.         Tanda hasil penjumlahan sama dengan tanda kedua buah bilangan

b.        Hasilnya sama dengan penjumlahan kedua bilangan tersebut.

 Contoh soal :

1)      Hasil dari 15 + 15  = 30

2)      Hasil dari  -14 + (-20) = - 34

·           Jika kedua bilangan tandanya berbeda, maka:

a.       Tanda hasil penjumlahan, sama dengan tanda bilangan terbesar dalam penjumlahan tersebut.

b.      Hasil sama dengan selisih antara bilangan terbesar dengan bilangan terkecil dalam penjumlahan tersebut.

Contoh soal :

1)        Hasil dari – 24 + 12 =

       Untuk soal di atas ini silahkan baca kembali keterangan 2(a), bahwa tanda hasil penjumlahan sama dengan tanda bilangan terbesar dalam penjumlahan tersebut.

       (Bilangan yang terbesar dalam penjumlahan tersebut adalah -24 maka hasilnya pun pasti – /negatif).

       Kemudian perhatikan lagi 2(b)-nya. Hasilnya sama dengan selisih antara penjumlahan dua bilangan tersebut = 24 – 12 = 12. Maka jika digabungkan dengan 2(a) dan 2(b) hasilnya jadi -12.

2)        Hasil dari 85 – (-35) + (-45) =

       Untuk soal seperti di atas, kerjakan terlebih dahulu dari sebelah kiri. Yaitu 85 – (-35) diubah menjadi 85 + 35 = 120 tinggal dikurangi dengan – 45. Menjadi seperti berikut 120 – 45 = 75

3)        Menurut prakiraan cuaca, suhu di Kp. Tarogong adalah 30⁰C, sedangkan suhu di Kp. Cikandang -10⁰C, selisih suhu dari kedua Kampung tersebut adalah….

       Untuk menyelesaikan soal di atas maka perlu diuraikan terlebih dahulu konsep penghuitungannya  menjadi sebagai berikut :

Selisih suhu   = Suhu Kp. Tarogong – Suhu Kp. Cikandang

Selisih suhu   = 30⁰C – (-10⁰C)

                      = 30 + 10

                      = 40⁰C

2.         Pengurangan Bilangan Bulat

                               Operasi pengurangan bilangan bulat dapat diubah menjadi operasi penjumlahan dengan lawan bilangan dari bilangan pengurangnya.

-            Lawan suatu bilangan

Contoh : 5 lawannya -5 ; -12 lawanya 12 ; -7 lawannya 7 ; 9 lawannya -9.

Perhatikan contoh pengurangan bilangan bulat berikut :

1)      9 – 4 = 9 + ( - 4 ) = 5

2)      9 – 19 = 9 + ( - 19  ) = - 10

3)      -12 – ( -6 ) = - 12 + 6 = - 8

4)      10 – (-6 ) = 10 + 6 = 16

5)      -10 – 40 = - 10 + ( -40 ) = - 50

Tabel Penjumlahan dan Pengurangan

      

3.         Perkalian Bilangan Bulat

(+) x (+) = (+) (+) x (-) = (-) (-) x (+) = (-) (-) x (-) = (+)

                               Pada dasarnya perkalian bilangan bulat hampir sama dengan perkalian bilangan cacah. Namun pada perkalian bilangan bulat  terdapat aturan perkalian tanda dengan tertentu :

      

1.        Bilangan bulat positif  x  bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat positif.

Contoh :  9 x 4 = 36

2.        Bilangan bulat negatif  x bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat positif.

Contoh :  -12 x ( -6 ) = 72

3.        Bilangan bulat positif  x bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat negatif.

Contoh :  8 x ( -7 ) = - 56

4.        Bilangan bulat negatif  x bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat negatif.

Contoh :  -5 x 9 = - 45

4.         Pembagian Bilangan Bulat

(+) : (+) = (+) (+) : (-) = (-) (-) : (+) = (-) (-) : (-) = (+)

Dalam operasi pembagian bilangan bulat juga berlaku suatu aturan, sebagai berikut :

1)      Bilangan bulat positif : bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat positif.

Contoh :  72 : 8 = 9

2)      Bilangan bulat positif : bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat negatif.

Contoh :  120 : ( - 10 ) = -12

3)      Bilangan bulat negatif : bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat negatif.

Contoh :  -64 : 4 = -16

4)      Bilangan bulat negatif : bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat positif.

Contoh :  -75 : -25 = 3

5.         Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat

                               Untuk mengerjakan operasi hitung campuran bilangan bulat, perlu diperhatikan urutan pengerjaannya sebagai berikut :

1.         Kerjakan operasi hitung yang terdapat dalam tanda kurung terlebih dahulu.

2.         Jika dalam operasi hitung terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan, kerjakan dulu operasi hitu yang paling depan (sebelah kiri).

3.         Jika dalam perasi hitung campuran terdapat operasi hitung perkalian dan pembagian, kerjakan dulu operasi hitung yang paling depan (sebelah kiri).

4.         Kerjakan perkalian atau pembagian terlebih dahulu sebelum penjumlahan dan pengurangan.

Contoh soal :

1.         34 x (-24) – (-4)        = -816 – (-4)

                                         = -816 + 4

                                         = - 812

2.          (-75) : (-5) – (-13)     = 5 – (-13)

                                         = 5 + 13

                                         = 18

D.      SIFAT OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

1.      Sifat Tertutup

a.         Sifat  Tertutup terhadap Penjumlahan

               Perhatikan himpunan bilangan  bulat Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…}, kemudian ambilah sebarang dua bilangan bulat ,jumlahkan dan persilangkanlah hasilnya. Apakah hasil penjumlahan dua bilangan tersebut merupakan bilanagan bulat juga? Untuk memeriksa hasil penjumlahan dua bilangan bulat tersebut , ambilah beberapa pasang bilangan bulat. Misalnya kita ambil bilangan 5 dan -3 , maka hasil penjumlahanya adalah 5 + (-3) = 2 merupakan bilangan bulat demikian juga untuk pasangan bilangan -8 dan -7 adalah -8 + (-7) = -15 juga merupakan bilangan bulat.Dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan dua bilangan bulat adalah dua bilangan bulat pula,dengan kata lain bahwa penjumlahan dua bilangan bulat bersifat tertutup.

b.        Sifat tertutup terhadap pengurangan

                      Perhatikan himpunan bilangan bulat Z = ( … , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … ), kemudian ambilah sembarang bilangan bulat, kurangkanlah dan periksalah hasilnya! Apakah hasil pengurangan dua bilangan tersebut merupakan bilangan bulat juga? Untuk memeriksa hasil penngurangan dua bilangan bulat tersebut, ambilah beberapa pasangan bilangan bulat. Misalnya, kita ambil a biilanga 5, dan -3, maka hasil pengurangannya adalah 5 – (-3) = 8 merupakan bilangan bulat. Misalnaya, kita ambil bilangan 5 dan -3, maka hasil pengurangannya adala 5 – (-3) = 8 merupakan bilangan bulat.

c.         Sifat Tertutup terhadap perkalian

       Hasil dua bilangan bulat adalah bilangan bulat pula. Maka bilangan bulat bersifat tertutup. contoh : -3 x (-7)= 21

2.      Sifat Komutatif ( Pertukaran )

Sifat komutatif ( pertukaran ) pada penjumlahan dan perkalian

a + b = b + a

a x b = b x a, berlaku untuk semua bilangan bulat.

Contoh :

1.        2 + 4 = 4 + 2 = 6

2.        3 + 5 = 5 + 3 = 8

3.        4 x 2 = 2 x 4 = 8

4.         3 x 2 = 2 x 3 = 6

3.      Sifat Asosiatif ( Pengelompokan )

Sifat asosiatif ( pengelompokan ) pada penjumlahan dan perkalian.

( a + b ) + c = a + ( b + c )

( a x b ) x c = a x ( b x c), berlaku untuk semua bilangan bulat.

Contoh :

1.        ( 2 + 4)  + 6 = 2 + ( 4 + 6 ) = 12

2.        (3 + 6 ) + 7 = 3 + ( 6+ 7 ) = 16

3.        ( 3 x 2 ) x 4 = 3 x (2 x 4 ) =24

4.        ( 3 x 5 ) x 2 = 3 x ( 5 x 2 ) = 30

4.      Sifat distributif ( penyebaran)

Sifat distributif hanya berlaku pada perkalian terhada penjumlahan  atau perkalian terhadap pengurangan

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ), yang berlaku untuk semua bilangan bulat.

a x ( b – c ) = ( a x b ) – ( a x c )

Contoh :

1.        4 x ( 5 + 2 ) = (4 x 5 ) + ( 4 x 2 ) = 28

2.        5 x ( 7 - 3 ) = ( 5 x 7 ) - (5 x 3 ) = 20

5.      Sifat Bilangan Nol (Unsur Identitas) pada Penjumlahan

                    Nol yang dinotasikan dengan “0” adalah salah satu anggota dari himpunan bilangan bulat.Penjumlahan bilangan nol dengan sebarang bilangan bulat akan menghasikan bilangan bulat itu.

Contoh : 4 + 0= 4

A + 0 = 0 + a =a

Secara umum dapat disimpulkan bahwa, Untuk sebarang bilangan bulat a berlaku

6.      Sifat Invers Penjumlahan (Lawan Satu Bilangan Bulat)

Setelah satu cara memahami adanya lawan suatu bilangan bulat adalah dengan memperhatikan garis bilangan seperti berikut:

Ilustrasi

       Pada garis bilangan di atas tampaklah bahwa titik yang bertanda negatif dan positif masing-masing mempunyai jarak yang sama terhadap titik 0.

Selanjutnya dilihat hasil penjumlahan dua bilangan yang saling berlawanan,

Misalnya kita ambil contoh: (-1) +1=0

7.      Sifat bilangan satu (unsur identitas) pada Perkalian

Bilangan satu adalah salah satu anggota dari himpunan bilangan bulat. Perkalian bilangan 1 dengan sembarang bilangan bulat akan menghasilkan bilang bulat itu sendiri.

Dapat disimpulkan a x 1= 1 x a= a

Contoh: 4 x 1 = 4

E.       Kegunaan Bilangan Bulat Dalam Kehidupan Sehari – Hari

               Bilangan bulat banyak digunakan dalam kehidupan kita sehari-hari. Berikut adalah contoh-contoh bilangan bulat yang biasa kita gunakan :

1.         Untuk pengukuran suhu. Suhu di Kota Jakarta siang ini sebesar 24 derajat celcius sedangkan suhu di kutub utara -34 derajat celcius. Angka 24 dan -34 tersebut merupakan bilangan bulat.

2.         Sebagai pengukur kedalaman laut. Jika kita menyatakan kedalaman 25 meter di bawah permukaan laut, maka yang ditulis adalah -25 meter. Angka -25 merupakan bilangan bulat negatif.

3.         Untuk menyatakan jumlah. Pernahkah adik-adik ke kebun binatang? Disana terdapat banyak sekali binatang. Coba hitung berapa jumlah jerapah di kebun binatang tersebut? Misalkan jumlah jerapahnya 15 ekor. Maka angka 15 merupakan bilangan bulat positif.

4.         Plat Motor, semuanya bilangan bulat dan tidak ada plat motor yg berangka pecahan.

5.         Nomor telepon, nomor handphone.

6.         Nomor rekening bank.

7.         Nomor Induk Siswa, No.Urut dan lain-lain

F.       PROBLEMATIKA

               Saat seorang guru memperkenalkan garis bilangan ketika mengajar materi tentang bilangan bulat. Hingga siswa pun kagum menyaksikan gurunya menjelaskan dengan penuh semangat setiap bilangan yang ada dalam garis bilangan, dari bilangan bulat, nol, hingga bilangan negatif. Hingga sang guru pun dengan penuh bangga mengajak siswa untuk menyimpulkan bahwa bilangan bulat merupakan “bilangan yang terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan negatif”

Dikeluarkanlah sebuah mobil2an kecil sebagai penambah semangat siswa.

       “Anak-anak, sekarang ibu akan menjelaskan bagaimana cara mengoperasikan atau menghitung hasil penjumlahan dan pengurangan dari dua buah bilangan bulat, untuk itu perhatikan baik-baik”.

       Semua siswa tampak antusias dalam mendengarkan ajakan dari sang guru dan tidak sabar ingin melihat jalannya mobil dalam garis bilangan.

       “Sebelum mobilnya di jalankan ada rambu-rambu yang harus di taati mobil… misalnya kalau operasinya penjumlahan maka ‘mobilnya maju’ apabila operasinya kurang maka mobilnya “mundur”

Para siswa masih penasaran.

            Ibu Guru memberikan beberapa contoh soal:

1.      3 + 4 = . . .

2.      3 + (-4) = . . .

3.      -3 + (-4) = . . .

4.      3 – 4 = . . .

5.      3 – (-4) = . . .

6.      -3 – (-4) = . . . (dalam beberapa kali pertemuan)

Hingga akhirnya siswapun jenuh dan kebingungan dengan menggunakan garis bilangan untuk menyelesaikan operasi dua buah bilangan bulat dan guru pun akhirnya menyerah dan mengambil jalan pintas dengan mengatakan kepada semua para siswa yang sudah tampak sedikit lesu bahwa:

-          Jika positif (+) ketemu negatif (-) maka tandanya berubah menjadi negatif (-)

-          Jika negatif (-) ketemu positif (+) maka tandanya juga berubah menjadi negatif (-)

-          Jika positif (+) ketemu positif (+) maka tandanya berubah menjadi (+), dan

-          Jika negatif (-) ketemu negatif (-) maka tandanya berubah menjadi (+).

Guru pun sedikit lega setelah memperkenalkan folrmula di atas dan siswa di ajak untuk menyelesaikan soal 3 + (-4) = 3 – 4 = -1 (dengan teknik hutang menghutang)

Dengan beberapa contoh para siswa dapat mengikuti dengan baik hingga pada saat latihan soalpun para siswa dapat mengerjakan dengan baik. (dengan beberapa kali pertemuan atau tatap muka)

            Apakah ini yang Anda lakukan ketika mengajarkan bilangan bulat pada siswa SD atau SMP kelas 1?

            Apakah ini merupakan sebuah proses pembelajaran yang baik menurut Anda? Atau ada cara yang lebih baik dari ini yang bisa Anda terapkan?

Mari kita analisa bersama.

Di era behavioristik mungkin pembelajaran ini akan sangat di dukung dan di benarkan oleh para penganut teori ini, seperti Thorndike, Watson, Skiner, Hull, dan lain-lain. Karena yang terpenting dalam suatu pembelajaran adalah stimulus-respon. Adanya stimulus yang baik akan menghasilkan respon yang baik pula. Sehingga proses membangun sebuah konsep berfikir siswa tidak terlalu penting bagi para pengguna teori pembelajaran ini.

Akan tetapi menurut NCTM dan beberapa kurikulum di negara maju dan bahkan Indonesia saat ini menggunakan teori kontruktivis sebagai landasan dalam proses belajar mengajar. Sehingga “membangun atau mengkonstruk konsep berfikir siswa jauh lebih di utamakan dibandingkan hasil akhir sebagai respon dari stimulus” sehingga dapat di tunjukkan bahwa pembelajaran di atas belum mengajak siswa untuk mengkonstruksi pemikiran. Dengan demikian ini akan menjadi problematika apabila sebagaian besar guru mengadopsi pembelajaran di atas.

a)      Problematika pertama :

            Terdapat bilangan bulat negatif yang bersifat tidak real atau nyata, dan peserta sedikit susah untuk membayangkan. Kurangnya logika peserta didik, dalam operasi hitung bilangan bulat.

b)      Problemaika kedua :

            Jalan pintas seperti negatif ketemu negatif jadi negatif atau positif ktemu negatif jadi negatif tidak di dasarkan akan rasionalisasi berfikir siswa. Sehingga timbul pertanyaan di dalam benak masing2 siswa. Kenapa bisa begitu?

G.    PEMBAHASAN DAN HASIL

·         Problematika peserta didik pertama :

Terdapat bilangan bulat negatif yang bersifat tidak real atau nyata, dan peserta sedikit susah untuk membayangkan. Kurangnya logika peserta didik, dalam operasi hitung bilangan bulat.

·         Problematika peserta didik kedua :

Jalan pintas seperti negatif ketemu negatif jadi negatif atau positif ketemu negatif jadi negatif tidak di dasarkan akan rasionalisasi berfikir siswa. Sehingga timbul pertanyaan di dalam benak masing2 siswa. Kenapa bisa begitu?

Solusi :

1.      Tahap Awal

            Untuk menyelesaikan soal pengoperasian bilangan bulat dapat dilakukan dengan membangun ( mengkontruksi ) pemikiran siswa melalui operasi hitung bertahap.

Misalnya :

2 + 1 = 3

2 + 0 = 2

2 + ( - 1 ) = 1

2 + ( -2 ) = 0

2 + ( - 3 ) = -1

Ilustrasi hasil pengoperasian dua buah bilangan di atas mengikuti pola bilangan loncat satu menurun siswa akan dengan mudah menebak setiap hasil pengoperasian yang di lakukan jika diteruskan. Hal ini tentu membawa pemikiran siswa bahwa 2 itu sama dengan 2 – 1 yaitu sama-sama menghasilkan bilangan 1 begitu pula 2 + (-2) dengan 2 – 2. Secara di sengaja bahwa kita telah mengkonstruk pemikiran siswa bahwa positif (+) ketemu negatif (-) itu sama dengan negatif (-). Seorang guru (pendidik) menjelaskan langsung bahwa positif ketemu negatif sama dengan negatif tanpa tahu dari mana atau  rasionalisasinya dari mana.

            Hal yang sama juga dapat dilakukan pada penemuan negatif bertemu negatif.

Misalnya :

4 – 1 = 3

4 – 0 = 4

4 – (-1 ) = 5

4 – (-2 ) = 6

4 – (-3 ) = 7

Tentu dengan mudah siswa akan menebak hasilnya, jika pengoperasian ini deiteruskan dan guru juga mudah mengkonstruksi pemikiran siswa untuk membuat kesimpulan bahwa negatif ( - ) bertemu negatif ( - ) hasilnya negatif (-).

            Ini adalah tahap awal dalam mengajar pengoperasian bilangan bulat, hal ini menjadi lebih mudah untuk di ajarkan kepada siswa dalam mengkonstruk pemikirannya menuju sebuah kesimpulan yang umum agar bisa membangun kemampuan logika anak terlebih dahulu.

            Tahap selanjutnya setelah logika anak sudah mulai terbangun maka kita akan mengajari operasi bilangan bulat yang lebih lengkap.

Metode 1

Menggunakan garis bilangan

Kelemahan :  Menggunakan garis bilangan yaitu membuat anak harus membuat garis bilangan terlebih dahulu, sehingga akan membutuhkan waktu lama dalam pengerjaan operasi bilangan bulat tersebut.

Metode 2

Operasi bilangan bulat juga bisa menggunakan konsep utang-menghutang.

Contoh :

12 + (-3) =

-4 + (-5) =

Cara menjelaskanya yaitu dimisalkan siska mempunyai 12 kelereng dan saat bermain dia menghilangkan kelereng Dodi 3 buah kelereng jadi siska harus mengembalikan 3 kelereng Dodi yang dihilangkan olehnya, maka siska membayar hutannya kepada Dodi dengan memberikan 3 kelerengnya kepada Dodi kelereng Siska tinggal ( buah).

Yang kedua Diana mempunyai hutang 4 buah buku kepada Dita Karena buku yang Diana gunakan itu masih belum cukup maka dia berhutang lagi kepada Dita sebanyak 5 buah jadi hutang Diana keseluruhan menjadi 9 buah.

“tanda min atau negative dalam soal dianggap hutang”

Kelemahannya yaitu adanya stimulus yang baik akan menghasilkan respon yang baik pula. Sehingga proses membangun sebuah konsep berfikir siswa tidak terlalu penting bagi para pengguna teori pembelajaran ini. yang terpenting dalam suatu pembelajaran adalah stimulus-respon akan tetapi membangun atau mengkonstruk konsep berfikir siswa jauh lebih di utamakan dibandingkan hasil akhir sebagai respon dari stimulus” sehingga dapat di tunjukkan bahwa pembelajaran di atas belum mengajak siswa untuk mengkonstruksi pemikiran. Dengan demikian ini akan menjadi problematika apabila sebagaian besar guru mengadopsi pembelajaran di atas.

Metode 3

Cara penjumlahan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

1.      Jika kedua bilangan tandanya sama, maka :

a. Tanda hasil penjumlahan sama dengan tanda kedua buah bilangan

b. Hasilnya sama dengan penjumlahan kedua bilangan tersebut.

Contoh soal :

1.      Hasil dari 15 + 15  = 30

2.      Hasil dari  -14 + (-20) = - 34

2.      Jika kedua bilangan tandanya berbeda, maka:

a. Tanda hasil penjumlahan, sama dengan tanda bilangan terbesar dalam penjumlahan tersebut.

b. Hasil sama dengan selisih antara bilangan terbesar dengan bilangan terkecil dalam penjumlahan tersebut.

Contoh soal :

Hasil dari – 24 + 12 =…

-          Untuk soal di atas ini  baca kembali keterangan 2(a), bahwa tanda hasil penjumlahan sama dengan tanda bilangan terbesar dalam penjumlahan tersebut.

-          (Bilangan yang terbesar dalam penjumlahan tersebut adalah -24 maka hasilnya pun pasti – /mins).

-          Kemudian perhatikan lagi 2(b)-nya. Hasilnya sama dengan selisih antara penjumlhan dua bilangan tersebut = 24 – 12 = 14. Maka jika digabungkan dengan 2(a) dan 2(b) hasilnya jadi -12.

Untuk anak yang sudah faham tentang konsep-konsep sebelumnya maka bisa menggunakan dengan cara ini. Dengan cara ini maka anak akan lebih cepat dalam menghitung operasi hitung bilangan bulat.